Главная >> Поддержка >>

Постановка задачи теории упругости

справка ELCUT

Содержание справки

Комплекс ELCUT может решать задачи теории упругости в постановках плоских напряжений, плоских деформаций и осесимметричного напряженного состояния с изотропными или ортотропными свойствами материалов. Задача плоских напряжений подходит для анализа структур, тонких по глубине, которые нагружены в плоскости модели.
Напряжение в направлении, нормальном к плоскости модели, предполагается отсутствующим. Задача плоских деформаций предполагает отсутствие деформаций вне плоскости модели. Эта задача подходит для моделирования объектов с весьма большой толщиной в направлении, нормальном к плоскости модели.

Перемещения, напряжения, деформации

Во всех постановках поле перемещений однозначно определяется двумя компонентами вектора перемещений δ в каждой точке:

В плоских задачах: \[ \{δ\} = \begin{Bmatrix} δ_x\\ δ_y \end{Bmatrix} \]

В осесимметричных задачах. \[ \{δ\} = \begin{Bmatrix} δ_z\\ δ_r \end{Bmatrix} \]

В обеих плоских постановках рассматривается только по три компоненты деформаций и напряжений. Деформация связана с перемещением соотношением: \[ \{ε\} = \begin{Bmatrix} ε_x\\ ε_y \\ γ_{xy} \\ \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} \frac{\partial δ_x}{\partial x}\\ \frac{\partial δ_y}{\partial y} \\ \frac{\partial δ_x}{\partial y} + \frac{\partial δ_y}{\partial x} \\ \end{Bmatrix} \]

Соответствующее ей напряжение выражается как \[ \{σ\} = \begin{Bmatrix} σ_x\\ σ_y \\ τ_{xy} \\ \end{Bmatrix} \]

В осесимметричном случае радиальное перемещение приводит к деформации ε_θ в направлении, перпендикулярном плоскости модели, поэтому выражение для полной деформации имеет вид: \[ \{ε\} = \begin{Bmatrix} ε_z\\ ε_r \\ ε_θ \\ γ_{rz} \\ \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} \frac{\partial δ_z}{\partial z}\\ \frac{\partial δ_r}{\partial r} \\ \frac{δ_r}{r}\\ \frac{\partial δ_z}{\partial r} + \frac{\partial δ_r}{\partial z} \\ \end{Bmatrix} \]

Соответствующие компоненты напряжений: \[ \{σ\} = \begin{Bmatrix} σ_z\\ σ_r\\ σ_θ\\ τ_{rz} \\ \end{Bmatrix} \]

Уравнения статического равновесия для плоских задач имеют следующий вид: \[ \left \lbrace \begin{matrix} \frac{\partial σ_x}{\partial x} + \frac{\partial τ_{xy}}{\partial y} = -f_x\\ \frac{\partial τ_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial σ_{y}}{\partial y} = -f_y \end{matrix} \right ., \]

а для осесимметричных задач: \[ \left \lbrace \begin{matrix} \frac{1}{r}\frac{\partial (rσ_r)}{\partial r} + \frac{\partial τ_{rz}}{\partial z} = -f_r\\ \frac{1}{r}\frac{\partial (rτ_{rz})}{\partial r} + \frac{\partial σ_{z}}{\partial z} = -f_z \end{matrix} \right ., \]

где f_x, f_y и f_z, f_r - компоненты вектора плотности объемной силы.

Соотношение между напряжениями и деформациями при упругом поведении материалов выражается зависимостью:

{σ} = [D]({ε} - {ε₀}),

где D - матрица упругости, и ε₀ - начальная термическая деформация, вызванная перепадом температур. Вид матрицы зависит от применяемой постановки.

Матрица упругости для плоского напряженного состояния (изотропный материал): \[ [D] = \frac{E}{1 - ν^2} \left [ \begin{matrix} 1 && ν && 0\\ ν && 1 && 0\\ 0 && 0 &&\frac{1 - ν}{2} \end{matrix} \right ] \]

Плоские напряжения, ортотропный материал: \[ [D] = \left [ \begin{matrix} \frac{1}{E_x} && -\frac{ν_{xy}}{E_y} && 0\\ -\frac{ν_{xy}}{E_y} && \frac{1}{E_y} && 0\\ 0 && 0 && \frac{1}{G_{xy}} \end{matrix} \right ]^{-1} \]

Плоские деформации в изотропном материале: \[ [D] = \frac{E(1-ν)}{(1+ν)(1-2ν)} \left [ \begin{matrix} 1 && \frac{ν}{1-ν} && 0\\ \frac{ν}{1-ν} && 1 && 0\\ 0 && 0 && \frac{1-2ν}{2(1-ν)} \end{matrix} \right ] \]

Плоские деформации в ортотропном материале: \[ [D] = \left [ \begin{matrix} \frac{1}{E_x} - \frac{ν_{xz}^2}{E_z} && -\frac{ν_{xy}}{E_y} -\frac{ν_{xz}ν_{yz}}{E_z} && 0\\ -\frac{ν_{xy}}{E_y} -\frac{ν_{xz}ν_{yz}}{E_z} && \frac{1}{E_y} - \frac{ν_{yz}^2}{E_z} && 0\\ 0 && 0 && \frac{1}{G_{xy}} \end{matrix} \right ]^{-1} \]

Осесимметричная задача, изотропный материал: \[ [D] = \frac{E(1-ν)}{(1+ν)(1-2ν)} \left [ \begin{matrix} 1 && \frac{ν}{1-ν} && \frac{ν}{1-ν} && 0\\ \frac{ν}{1-ν} && 1 && \frac{ν}{1-ν} && 0\\ \frac{ν}{1-ν} && \frac{ν}{1-ν} && 1 && 0\\ 0 && 0 && 0 && \frac{1-2ν}{2(1-ν)} \end{matrix} \right ] \]

Осесимметричная задача, ортотропный материал: \[ [D] = \left [ \begin{matrix} \frac{1}{E_z} && -\frac{ν_{zr}}{E_r} && -\frac{ν_{zθ}}{E_θ} && 0\\ -\frac{ν_{zr}}{E_r} && \frac{1}{E_r} && - \frac{ν_{rθ}}{E_θ} && 0\\ -\frac{ν_{zθ}}{E_θ} && - \frac{ν_{rθ}}{E_θ} && \frac{1}{E_θ} && 0\\ 0 && 0 && 0 && \frac{1}{G_{zr}} \end{matrix} \right ]^{-1} \]

В этих формулах E - модуль Юнга в изотропном случае;
E_x, E_y, E_z, E_r, и E_θ модули Юнга в направлении соответствующих осей в материале с ортотропными свойствами;
ν - коэффициент Пуассона изотропного материала;
ν_yx, ν_zx, ν_zy, ν_rz, ν_θz, ν_θr - коэффициенты Пуассона для указанных пар осей в ортотропном случае;
G_xy или G_zr - модуль сдвига.