Главная >> Поддержка >>

Постановка задачи расчета нестационарного магнитного поля

справка ELCUT

Содержание справки

Задача расчета нестационарного магнитного поля представляет собой общий случай расчета магнитного и электрического полей, вызванных переменными токами (синусоидальные, импульсные и др.), постоянными магнитами, или внешним магнитным полем, в линейной и нелинейной (ферромагнитной) среде, с учетом вихревых токов (поверхностный эффект).

Формулировка задачи может быть получена из уравнений Максвелла для векторного магнитного потенциала A (B = rot A, B - вектор магнитной индукции), и скалярного электрического потенциала U (E = -grad U, E - вектор напряженности электрического поля):

rot(μ^-1·rot A) = j + rot H_c

j = γE = -γ·grad U - γ·∂A/∂t,

где μ^-1 тензор, обратный тензору магнитной проницаемости, и γ - электропроводность.

В соответствии со вторым уравнением, полный ток в проводнике может рассматриваться как сумма стороннего тока, вызванного приложенным извне напряжением, и вихревого тока, индуцированного переменным магнитным полем

j = j_стор + j_вихр,

где

j_стор = -γ·grad U

j_вихр = -γ·∂A/∂t.

Если расчет поля проводится совместно с присоединенной электрической цепью, уравнение цепи, содержащей массивный проводник в магнитном поле записывается как:

I = U/R - ωγ· _s∫A·dS ,

где
 U - падение напряжения на массивном проводнике, и
 R - активное сопротивление проводника на постоянном токе.

В рассматриваемых задачах вектор индукции B всегда лежит в плоскости модели (xy или zr), а вектор плотности тока j и векторный потенциал A перпендикулярны к ней. Отличны от нуля только компоненты j_z и A_z в плоско-параллельном случае или j_θ и A_θ в осесимметричных задачах. Мы будем обозначать их просто как j и A. Для плоскопараллельных задач уравнение имеет вид: \[ \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{μ_y}\frac{\partial A}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1}{μ_x}\frac{\partial A}{\partial y} \right) - σ\frac{\partial A}{\partial t} = -j_{cmop.} + \left(\frac{\partial H_{cy}}{\partial x} - \frac{\partial H_{cx}}{\partial y} \right), \]

а для осесимметричного случая: \[ \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{1}{r μ_z}\frac{\partial(rA)}{\partial r} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{1}{μ_r}\frac{\partial A}{\partial z} \right) - σ\frac{\partial A}{\partial t} = -j_{cmop.} + \left(\frac{\partial H_{cr}}{\partial z} - \frac{\partial H_{cz}}{\partial r} \right), \]

где компоненты тензора магнитной проницаемости μ_x и μ_y (μ_z и μ_r), составляющие коэрцитивной силы H_cx и H_cy (H_cz и H_cr) - постоянные величины в пределах каждого из блоков модели. Сторонняя составляющая тока j_стор. предполагается постоянной в пределах каждого блока модели в плоской задаче и обратно пропорциональной радиусу (~1/r) в осесимметричном случае.

Замечание. В нелинейной постановке свойства материалов считаются изотропными (μ_x = μ_y или μ_z = μ_r) и задаются зависимостью B(H), представленной кубическим сплайном.