Постановка задачи теории упругости

Комплекс ELCUT может решать задачи теории упругости в постановках плоских напряжений, плоских деформаций и осесимметричного напряженного состояния с изотропными или ортотропными свойствами материалов. Задача плоских напряжений подходит для анализа структур, тонких по глубине, которые нагружены в плоскости модели. Напряжение в направлении, нормальном к плоскости модели, предполагается отсутствующим. Задача плоских деформаций предполагает отсутствие деформаций вне плоскости модели. Эта задача подходит для моделирования объектов с весьма большой толщиной в направлении, нормальном к плоскости модели.

Перемещения, напряжения, деформации

Во всех постановках поле перемещений однозначно определяется двумя компонентами вектора перемещений δ в каждой точке:

{δ} =		- в плоских задачах;
{δ} =		- в осесимметричных задачах.

В обеих плоских постановках рассматривается только по три компоненты деформаций и напряжений. Деформация связана с перемещением соотношением:

{ε} =

=

.

Соответствующее ей напряжение выражается как

{σ} =

.

В осесимметричном случае радиальное перемещение приводит к деформации ε_θ в направлении, перпендикулярном плоскости модели, поэтому выражение для полной деформации имеет вид:

{ε} =

=

.

Соответствующие компоненты напряжений:

{σ} =

.

Уравнения статического равновесия для плоских задач имеют следующий вид:

а для осесимметричных задач:

где f_x, f_y и f_z, f_r - компоненты вектора плотности объемной силы.

Соотношение между напряжениями и деформациями при упругом поведении материалов выражается зависимостью:

{σ} = [D]({ε} - {ε₀}),

где D - матрица упругости, и ε₀ - начальная термическая деформация, вызванная перепадом температур. Вид матрицы зависит от применяемой постановки.

Матрица упругости для плоского напряженного состояния (изотропный материал):

[D] =

.

Плоские напряжения, ортотропный материал:

[D] =

.

Плоские деформации в изотропном материале:

[D] =

.

Плоские деформации в ортотропном материале:

[D] =

.

Осесимметричная задача, изотропный материал:

[D] =

.

осесимметричная задача, ортотропный материал:

[D] =

.

В этих формулах E - модуль Юнга в изотропном случае;
E_x, E_y, E_z, E_r, и E_θ модули Юнга в направлении соответствующих осей в материале с ортотропными свойствами;
ν - коэффициент Пуассона изотропного материала;
ν_yx, ν_zx, ν_zy, ν_rz, ν_θz, ν_θr - коэффициенты Пуассона для указанных пар осей в ортотропном случае;
G_xy или G_zr - модуль сдвига.