Автоматический временной шаг в нестационарных задачах

В нестационарных задачах можно включить автоматический выбор временного шага.

Начальное значение шага можно приближенно определить по формуле:

Δt₀ = min (ξ² / 4α) ,

где ξ это "размер" треугольника сетки, а
α = λ / ρ·C - для задач теплопередачи,
α = 1 / μ·γ - для нестационарных магнитных задач.

Соотношение (ξ² / 4α) вычисляется для всех треугольников модели, а потом выбирается наименьшее значение для вычисления начального шага.

По мере решения задачи шаг настраивается автоматически по адаптивной схеме.

Следующий шаг вычисляется на основе предыдущего по формуле

Δt_k+1 = k·Δt_k

где k - масштабирующий коэффициент, изменяющийся от 0.25 до 4.0 (дискретные значения 0.25; 0.5; 1.0; 2.0; 4.0). Коэффициент k зависит от поведения потенциала и его производной, а также от значений изменяющихся во времени и пространстве источников поля и граничных условий.

Два фактора учитываются при выборе величины коэффициента k:

• Норма вариации производной по времени на предыдущем шаге для всех узлов сетки:

  Δūn = 2

  ||ūn - ūn-1|| ||ūn|| + ||ūn-1||

• Величина, обратная характеристическому времени:

  ωn =	{Δūn}T·{Fn - Fn-1} {Δūn}T·[KTn]·{Δūn}

В задачах теплопередачи {F_n} - это вектор теплового потока за счет теплопроводности, конвекции и радиации. В задачах нестационарного магнитного поля {F_n} - это вектор магнитной индукции.
u - это величина потенциала, а K_Tn - это матрица жесткости метода конечных элементов.

Действительная величина коэффициента k выбирается на основе двух безразмерных характеристик: Δū_n и 2π/Δt_nω_n с использованием заданной таблицы пределов. Для использования на следующем временном шаге выбирается наименьшее значение. Таким образом получается гладкая и точная временная зависимость в каждой пространственной точке модели.