Постановка 3D-задачи электрического поля постоянных токов

Трехмерное электрическое поле постоянных токов в проводящей среде описываются уравнением Лапласа относительно скалярного электрического потенциала U (E = –gradU, E - вектор напряженности электрического поля). Уравнение имеет вид:

Δ(γU) = 0,    (1)

где Δ — оператор Лапласа, U – скалярный электрический потенциал, γ - удельная электрическая проводимость, постоянная величина в пределах каждого из тел модели. Как видно из уравнения (1), электрическое поле постоянных токов не имеет объемных источников. Токи, создающие поле, задаются для этой задачи в виде граничных условий.

Трехмерный вектор плотности тока J связан с потенциалом соотношением:

J = −γ gradU        (2)

При трехмерном моделировании электрического поля постоянных токов в проводящей среде ELCUT позволяет задать:

1. Нормальную поверхностную плотность тока на гранях;
2. Линейную плотность тока на рёбрах;
3. Точечные источники и стоки тока в вершинах модели.

Во всех перечисленных случаях плотность тока-источника может быть задана формулой как функция от координат: j = j(x,y,z).

Граничными условиями в задачах электрического поля постоянных токов являются:

1. Условие Дирихле задает наперёд известное значение электрического потенциала U₀ на гранях, рёбрах или в вершинах модели.
2. Условие Неймана на внешней грани тела или на его внешнем ребре задает значение нормальной к грани (ребру) компоненты вектора плотности тока: j_n= j
3. Граничное условие равного потенциала используется для описания изолированных проводников, помещенных в электрическое поле, которые имеют постоянный, но заранее неизвестный потенциал.

Ненулевые граничные условия Дирихле и Неймана могут быть заданы формулой как функция от координат.

Вычисляемыми локальными физическими величинами являются электрический потенциал U, вектор напряженности электрического поля E, вектор плотности электрического тока J. В качестве интегральной величины вычисляется полный ток через заданную поверхность.