Вычисление матрицы емкостей

Что такое матрица емкостей?

В системе из нескольких заряженных проводников, потенциал каждого проводника определяется не только собственным зарядом этого проводника, но и зарядами остальных проводников системы. При условии, что свойства среды не зависят от поля (в электростатических задачах ELCUT это всегда так), потенциал каждого проводника выражается линейной функцией от зарядов всех тел:

U₁ = a₁₁ * q₁ + a₁₂ * q₂ + ... + a_1n * q_n
U₂ = a₂₁ * q₁ + a₂₂ * q₂ + ... + a_2n * q_n
......
U_n = a_n1 * q₁ + a_n2 * q₂ + ... + a_nn * q_n,

(1)

где
    U_k - потенциал k-ого проводника,
    q_k - заряд k-ого проводника,
    a_ij - потенциальные коэффициенты.

Коэффициенты пропорциональности в уравнениях (1) называются потенциальными коэффициентами.

Коэффициенты a_ii, находящиеся на диагонали матрицы, выражают вклад в потенциал i-ого проводника его собственного заряда. Они называются собственными потенциальными коэффициентами. Внедиагональные коэффициенты a_ij (при i ≠ j) соответствуют вкладу заряда j-ого проводника в потенциал i-ого проводника. Они называются взаимными потенциальными коэффициентами.

Часто решается обратная задача - вычисление зарядов проводников по известным потенциалам. Разрешая систему уравнений (1) относительно зарядов (q₁, q₂, ... q_n) получим:

q₁ = b₁₁ * U₁ + b₁₂ * U₂ + ... + b_1n * U_n
q₂ = b₂₁ * U₁ + b₂₂ * U₂ + ... + b_2n * U_n
......
q_n = b_n1 * U₁ + b_n2 * U₂ + ... + b_nn * U_n

(2)

В системе (2) коэффициенты b_ij имеют размерность емкости. Их принято называть коэффициентами электростатической индукции, или частичными емкостями относительно земли.
Отметим, что коэффициенты b_ij могут быть как положительными, так и отрицательными.

На практике часто требуется заменить систему проводников их эквивалентной схемой, в которой каждая пара проводников заменяется конденсатором специально подобранной емкости. Такому представлению соответствует система уравнений (3), где заряды проводников выражены через разности потенциалов между данным телом и другими проводниками, в том числе и землей:

q₁ = с₁₁ * (U₁ - 0) + с₁₂ * (U₁ - U₂) + ... + с_1n * (U₁ - U_n)
q₂ = с₂₁ * (U₂ - U₁) + с₂₂ * (U₂ - 0) + ... + с_2n * (U₂ - U_n)
......
q_n = с_n1 * (U_n - U₁) + с_n2 * (U_n - U₂) + ... + с_nn * (U_n - 0)

(3)

Форма записи (3) удобна тем, что коэффициенты c_ij всегда положительны и допускают естественную интерпретацию как емкости конденсаторов эквивалентной схемы. Так коэффициенты c_ii соответствуют вкладу в заряд проводника, вносимому его собственным потенциалом, то есть собственной емкости проводника. Коэффициент c_ij при разных i и j отражает часть заряда i-ого проводника, обусловленную разницей потенциалов между ним самим и проводником с номером j, иначе говоря, эквивалентен емкости конденсатора, образованного проводниками i и j. Они носят название частичные емкости.

Заметим также, что все три матрицы симметричны, то есть a_ij = a_ji.